4.1 Odvození LMS

V 2. cvičení bylo odvození rovnic pro LMS (rovnice filtrace a úpravy vah) již uvedeno pro úlohu predikce (3.2),(3.3). Úloha identifikace, které je věnováno toto cvičení, však vede na úlohu estimace. Zde odvodím LMS pro strukturu Obr. 4.1(a), pomocí které lze jednoduše postavit všechny zmíněné úlohy.

Figure 4.1: (a) LMS estimátor, (b) prediktor postavený s použitím bloku a

Například prediktor obdržíme tak, že na vstup $d[n]$ bloku Obr. 4.1(a) připojíme vstupní signál prediktoru $x'[n]$ (vstup prediktoru na rozdíl od Obr. 3.2 čárkuji pro odlišení od vstupu $x[n]$ bloku) a na vstup $x[n]$ bloku připojíme zpožděný vstupní signál prediktoru $x'[n-1]$, jak je naznačeno na Obr. 4.1b.

Kromě uvedeného přejmenování je však odvození stejné a řada poznámek lze převzít (například to jak se dospěje od rovnice filtrace k rovnici pro úpravu vah, nebo poznámka o vztahu kritérií minimalizace $e^2[n]$ a $\mathrm{E}[e^2[n]]$). Budu tedy stručný. Adaptivní filtr na Obr. 4.1(a) má řád $M$. Zavedeme vektor $\mathbf{x}[n]$ obsahující $M+1$ vzorků signálu $x[n]$ a váhový vektor $\mathbf{w}[n]$

$$\mathbf{x}^T[n] = [ x[n], \ldots, x[n-M] ], \mathbf{w}^T[n] = [ w_1[n], \ldots, w_{M+1}[n] ]$$

S použitím Obr. 4.1(a) napíšeme rovnici filtrace

$$\begin{gathered}\hat{d}[n] = \mathbf{w}^T[n] \mathbf{x}[n] \\ e[n] = d[n] - \hat{d}[n] \end{gathered} .$$ (4.1)

Z (4.1) vyjádříme gradient účelové funkce $e^2[n]$

$$\nabla_{\mathbf{w}[n]}e^2[n] = 2 e[n] \frac{\partial e[n]}{\partial \mathbf{w}[n]} = - 2 e[n] \mathbf{x}[n] .$$ (4.2)

Nyní již můžeme napsat rovnici pro úpravu vah

$$\mathbf{w}[n+1] = \mathbf{w}[n] - \mu \nabla_{\mathbf{w}[n]}e^2[n] = \mathbf{w}[n] + \mu e[n] \mathbf{x}[n] .$$ (4.3)