4.3 Chybový povrch

To proč LMS nefunguje tak dobře v případě s barevným buzením lze nejlépe vysledovat z trajektorie vah $\mathbf{w}[n]$ v prostoru vah (představte si $M+1$ rozměrný prostor na jehož osy vynášíte váhy $w_0[n]$,$w_1[n]$,..., $w_{M+1}[n]$). Vektor $\mathbf{w}[n]$ pak představuje jediný bod tohoto prostoru. Trajektorii získáme tak, že vyneseme $\mathbf{w}[n]$ pro všechny časy $n$.

Figure 4.9: Trajektorie pro případ obou buzení, modře je vyneseno 5 realizací průběhu vah, červeně pak průběh střední hodnoty přes $R=600$ realizací.

Již nyní vidíme že pro barevné buzení je trajektorie v části za ohybem poněkud roztřesenější. Protože by nám trajektorie sama příliš neřekne, je dobré si vynést důvod proč má trajektorie tvar jaký má (proč se váhy hýbou). Vyneseme si tedy i minimalizovanou funkci $\mathrm{E}[e^2[n]]$ (nevynášíme $e^2[n]$ tedy funkci kterou LMS skutečně minimalizuje. Důvody jsou takové, že původní záměr byl minimalizace $\mathrm{E}[e^2[n]]$ nikoli $e^2[n]$, to je jenom prostředek k snadnějšímu dosažení cíle - jednoduchý algoritmus, dále budeme předpokládat, že $x[n]$ je alespoň na vyšetřovaném úseku stacionární a ergodický - pak LMS skutečně minimalizuje i $\mathrm{E}[e^2[n]]$). $\mathrm{E}[e^2[n]]$ (MSE) jakožto funkci vah $\mathbf{w}$ tedy $\mathrm{E}[e^2[n]](\mathbf{w})$ nazýváme chybový povrch ^4.2.

Poznámka: Jak vyjádříme $\mathrm{E}[e^2[n]](\mathbf{w})$ pomocí momentů použitých signálů $x[n]$ a $d[n]$ ? Obdobně jako jsme to učinili v případě blokového odhadu AR koeficientů. Z rovnice filtrace (4.1) vyjádříme rozptyl $e^2[n]$

$$\mathrm{E}[e^2[n]] = \mathrm{E}[ d^2[n] - 2 \mathbf{w}^T \mathbf{... ...n] ] - 2 \mathbf{w}^T \mathbf{r}_{dx} + \mathbf{w}^T \mathbf{R}_{xx} \mathbf{w}$$ (4.4)

kde $\mathbf{r}_{dx} = \mathrm{E}[ d[n]\mathbf{x}[n] ]$ a $\mathbf{R}_{xx} = \mathrm{E}[ \mathbf{x}[n] \mathbf{x}^T[n] ]$. Potřebné druhé momenty pak odhadneme blokovým odhadem (jeden blok přes onen vyšetřovaný stacionární a ergodický úsek).

Obrázky Obr. 4.10, Obr. 4.12 a Obr. 4.11 ukazují různá znázornění chybových povrchů spolu s trajektoriemi pro oba případy buzení.

Figure 4.10: Chybové povrchy (jenom vrstevnice) spolu s trajektoriemi

Zatímco pro bílý šum je chybový povrch rotačně symetrický u barevného buzení můžeme jasně rozlišit dva význačné směry říká se jim módy konvergence. V jednom z módů klesá MSE mnohem strměji než v druhém. Právě tento strmější mód je kritický pro stabilitu LMS. Hlavně s ohledem na něj volíme $\mu$ (tento mód určuje horní mez pro $\mu$). Konvergence v druhém módu je pak podstatně pomalejší. Také vidíme, že i když LMS ve strmém módu již zkonvergovalo (za ohybem), strmější mód s vahami stále hýbe (roztřesený průběh za ohybem). Dvoum módům pak odpovídají ony dvě časové konstanty v průběhu MSE na $n$, viz. Obr. 4.5.

Figure 4.11: Chybový povrch pro bílý šum

Figure 4.12: Chybový povrch pro barevné buzení