Next: 8. Cvičení 8: Odhad
Up: 7. Cvičení 7: Konvergenční
Previous: 7.6 Konvergence střední hodnoty
7.7 Odvození rekurze pro inverzi autokorelační matice v RLS algoritmu
Naším cílem zde nebude pouze dokázat,
že (7.12) je inverzí (7.10)
(to lze ukázat jednoduše vynásobením - vyjde vám jednotková matice),
ale ukázat, jak se na vztah (7.12) vůbec přijde.
Z (7.10) vyjádřím
|
(7.60) |
Jelikož
je symetrická (inverze autokorelační matice)
existuje její "odmocnina"
.
Odmocninu matice
zde
definuji jako symetrickou matici s vlastností
7.4.
Předpokládejme regularitu
, pak je regulární i
. Nyní
v (7.60)
vyjádříme jako součin "odmocnin" a odmocniny a vytkneme ze závorky
7.5
kde jsem zavedl zkrácené označení
|
(7.62) |
Nyní se budeme snažit zkonstruovat inverzi
použijeme k tomu opět vlastního rozkladu. Zaměřme se nejprve na symetrickou
matici
. Jedná se o singulární matici
s hodností jedna (sloupcové vektory matice se liší pouze násobením skalárem).
Prostor řešení homogení soustavy
má tedy dimenzi ,
kde je rozměr
.
Řešení
jsou vlastně vlastní vektory
příslušné nulovému vlastnímu číslu
a
je násobností tohoto vlastního čísla.
Dále si všiměte, že
je vlastním vektorem
neboť
a
je příslušným vlastním číslem.
Vlastní rozklad
má tedy tvar
|
(7.63) |
kde
je nulová čtvercová matice a sloupcové vektory
tvoří ortonormální bázi doplňku lineárního obalu
k
.
Nyní již dosadíme (7.63)
do inverze
a použijme ortogonalitu
a inverzi diagonální matice
Výsledek (7.64) dosadíme do (7.61)
a dosadíme za
z (7.62)
a dostáváme vztah (7.12).
Next: 8. Cvičení 8: Odhad
Up: 7. Cvičení 7: Konvergenční
Previous: 7.6 Konvergence střední hodnoty
Mirek
2006-12-12