next up previous
Next: 8. Cvičení 8: Odhad Up: 7. Cvičení 7: Konvergenční Previous: 7.6 Konvergence střední hodnoty


7.7 Odvození rekurze pro inverzi autokorelační matice v RLS algoritmu

Naším cílem zde nebude pouze dokázat, že (7.12) je inverzí (7.10) (to lze ukázat jednoduše vynásobením - vyjde vám jednotková matice), ale ukázat, jak se na vztah (7.12) vůbec přijde.

Z (7.10) vyjádřím $ \mathbf{R}[n]^{-1} = \mathbf{P}[n]$

$\displaystyle \mathbf{P}[n] = (\mathbf{x}[n]\mathbf{x}^T[n] + \beta \mathbf{P}^{-1}[n-1])^{-1} .$ (7.60)

Jelikož $ \mathbf{P}[n-1]$ je symetrická (inverze autokorelační matice) existuje její "odmocnina" $ \mathbf{P}^{\frac{1}{2}}[n-1]$. Odmocninu matice $ \mathbf{P}[n-1]$ zde definuji jako symetrickou matici s vlastností $ \mathbf{P}^{\frac{1}{2}}[n-1] \mathbf{P}^{\frac{1}{2}}[n-1] = \mathbf{P}[n-1]$ 7.4. Předpokládejme regularitu $ \mathbf{P}[n-1]$, pak je regulární i $ \mathbf{P}^{\frac{1}{2}}[n-1]$. Nyní $ \mathbf{P}[n-1]$ v (7.60) vyjádříme jako součin "odmocnin" a odmocniny a $ \beta$ vytkneme ze závorky 7.5

\begin{equation*}\begin{aligned}\mathbf{P}[n] &= \frac{1}{\beta} \mathbf{P}^{\fr...
...hbf{E} \right)^{-1} \mathbf{P}^{\frac{1}{2}}[n-1] , \end{aligned}\end{equation*}

kde jsem zavedl zkrácené označení

$\displaystyle \mathbf{u} = \beta^{-\frac{1}{2}} \mathbf{P}^{\frac{1}{2}}[n-1]\mathbf{x}[n] .$ (7.62)

Nyní se budeme snažit zkonstruovat inverzi $ (\mathbf{u}\mathbf{u}^T + \mathbf{E})$ použijeme k tomu opět vlastního rozkladu. Zaměřme se nejprve na symetrickou matici $ \mathbf{u}\mathbf{u}^T$. Jedná se o singulární matici s hodností jedna (sloupcové vektory matice se liší pouze násobením skalárem). Prostor řešení homogení soustavy $ \mathbf{u}\mathbf{u}^T\mathbf{v} = \mathbf{o}$ má tedy dimenzi $ N-1$, kde $ N\times N$ je rozměr $ \mathbf{u}\mathbf{u}^T$. Řešení $ \mathbf{v}$ jsou vlastně vlastní vektory $ \mathbf{u}\mathbf{u}^T$ příslušné nulovému vlastnímu číslu $ \mathbf{u}\mathbf{u}^T$ a $ N-1$ je násobností tohoto vlastního čísla. Dále si všiměte, že $ \mathbf{u}$ je vlastním vektorem $ \mathbf{u}\mathbf{u}^T$ neboť $ (\mathbf{u}\mathbf{u}^T) \mathbf{u} = \mathbf{u} (\mathbf{u}^T\mathbf{u})$ a $ \mathbf{u}^T\mathbf{u} = \Vert\mathbf{u}\Vert^2$ je příslušným vlastním číslem. Vlastní rozklad $ \mathbf{u}\mathbf{u}^T$ má tedy tvar

\begin{displaymath}\begin{gathered}\mathbf{u}\mathbf{u}^T = \mathbf{V} \mathbf{D...
...\\ \mathbf{o} & \mathbf{O} \end{array} \right] , \end{gathered}\end{displaymath} (7.63)

kde $ \mathbf{O}$ je nulová čtvercová matice a sloupcové vektory $ \mathbf{Q}$ tvoří ortonormální bázi doplňku lineárního obalu $ \frac{\mathbf{u}}{\Vert\mathbf{u}\Vert}$ k $ \mathcal{R}^N$. Nyní již dosadíme (7.63) do inverze $ (\mathbf{u}\mathbf{u}^T + \mathbf{E})$ a použijme ortogonalitu $ \mathbf{V}$ a inverzi diagonální matice

\begin{equation*}\begin{aligned}(\mathbf{u}\mathbf{u}^T + \mathbf{E})^{-1} &= (\...
...\mathbf{u}\mathbf{u}^T}{\Vert\mathbf{u}\Vert^2+1} . \end{aligned}\end{equation*}

Výsledek (7.64) dosadíme do (7.61) a dosadíme za $ \mathbf{u}$ z (7.62)

\begin{equation*}\begin{aligned}\mathbf{P}[n] &= \frac{1}{\beta} \mathbf{P}^{\fr...
...hbf{x}^T[n]\mathbf{P}[n-1]\mathbf{x}[n] } \right) . \end{aligned}\end{equation*}

a dostáváme vztah (7.12).


next up previous
Next: 8. Cvičení 8: Odhad Up: 7. Cvičení 7: Konvergenční Previous: 7.6 Konvergence střední hodnoty
Mirek 2006-12-12