8.2 Kaskáda IIR prediktorů 2. řádu

Charakteristika prediktorů 2. řádu není příliš selektivní. Velké zlepšení z hlediska selektivity lze dosáhnout umístěním komplexně sdružených pólů v úhlech nul původního filtru poblíž jednotkové kružnice. Přenosová funkce výsledného systému má pak tvar

$$H(z) = \frac{z^2 - 2z\cos(\Theta) + 1}{ z^2 - 2 r z\cos(\Theta) + r^2} .$$ (8.8)

V čitateli vidíme dvě komplexně sdružené nuly $(z-e^{\jmath \Theta})(z-e^{-\jmath \Theta})$ a ve jmenovateli dva komplexně sdružené póly $(z - r e^{\jmath \Theta})(z - r e^{-\jmath \Theta})$ na stejných úhlech $\Theta$,$-\Theta$ s modulem $r$. Na Obr. 8.8 je vidět srovnání systémů s přenosovou funkcí (8.8) pro různé moduly pólů.

Figure 8.8: Porovnání frekvenčních charakteristik systémů s přenosovou funkcí (8.8) pro různé volby $r$ (jsou vyneseny i polohy nul a pólů)

Modul pólů $r$ (ovlivňuje selektivitu) budu voli fixní. Jediná věc, která lze upravovat je opět pouze úhel nuly $\Theta$ případně $\cos(\Theta)$. Váhy zavedu tedy shodně s (8.2). Z přenosové fce (8.8) jednoduše přejdeme ke struktuře. Kaskáda IIR prediktorů 2. řádu je na Obr. 8.9.

Figure 8.9: Kaskáda IIR prediktorů 2. řádu pro odhad dvou frekvencí

Z Obr. 8.9 jednoduše sesvíme rovnice filtrace (oproti (8.3) přibydou zpětné vazby)

$$\begin{aligned}x_2[n] &= x[n] - 2 c_1[n] x[n-1] + x[n-2] + 2 r ... ...-1] + x_2[n-2] + 2 r c_2[n] e[n-1] - r^2 e[n-2]. \\ \end{aligned}$$

K tomu, abychom sestavili rovnice pro úpravu $c_1[n]$ a $c_2[n]$ potřebujeme opět určit derivace $\frac{\partial e[n]}{\partial c_1[n]}$, $\frac{\partial e[n]}{\partial c_2[n]}$. Opět začneme s $\frac{\partial e[n]}{\partial c_2[n]}$. Zpětnou vazbou se situace značně komplikuje, ale za předpokladu, že $c_2[n]$, $c_2[n-1]$ a $c_2[n-2]$ lze považovat za přibližně shodné $c_2[n] = c_2[n-1] = c_2[n-2]$ (dostatečně malé $\mu$) dospějeme k rekurzivnímu vztahu pro $\frac{\partial e[n]}{\partial c_2[n]}$ ( $\frac{\partial e[n]}{\partial c_2[n]}$ označím $d_2[n]$ )

$$\frac{\partial e[n]}{\partial c_2[n]} = d_2[n] = - 2 x_2[n-1] + 2 r e[n-1] + 2 r c_2[n] d_2[n-1] - r^2 d_2[n-2] .$$ (8.10)

Derivaci $\frac{\partial e[n]}{\partial c_1[n]}$ stanovíme opět s použitím LTI předpokladu. Prohodíme opět oba prediktory jako na Obr. 8.2 a napíšeme rovnice filtrace

$$\begin{aligned}y_1[n] &= x[n] - 2 c_2[n] x[n-1] + x[n-2] + 2 r ... ...-1] + y_1[n-2] + 2 r c_1[n] e[n-1] - r^2 e[n-2]. \\ \end{aligned}$$

a již obdobně jako v (8.10) (předpoklad pomalu měnících se vah) určím problematickou derivaci

$$\frac{\partial e[n]}{\partial c_1[n]} = d_1[n] = - 2 y_1[n-1] + 2 r e[n-1] + 2 r c_1[n] d_1[n-1] - r^2 d_1[n-2] .$$ (8.12)

Obrázek výsledné struktury lze opět převzít, viz. Obr. 8.3. S použitím (8.12) a (8.10) již jednoduše sestavíme rovnice pro úpravu vah

$$\begin{aligned}c_2[n] &= c_2[n-1] - \mu \frac{\partial e^2[n]}{... ...n]}{\partial c_1[n]} = c_1[n-1] - \mu e[n] d_1[n] . \end{aligned}$$

Cvičení 8.2: Vystupní signál $x[n]$ modelujte shodně jako ve cvičení 8.1. Napište skript v Matlabu implementující strukturu Obr. 8.9 (kaskádu IIR prediktorů 2. řádu pro odhad dvou frekvencí) Porovnejte výsledky (odhady frekvencí na čase, atd.) oproti výsledkům získaným ve cvičení 8.1 (kaskádu FIR prediktorů 2. řádu pro odhad dvou frekvencí).

Výsledky:

Figure 8.10: Kaskáda IIR, rozptyl adidivního rušení $\sigma _u^2 = 1^2$: (zleva doprava) amplitudová spektra vstupu $x[n]$ a výstupu $e[n]$, průběh odhadu frekvencí na čase, modulové frekvenční charakteristiky kaskády a obou prediktorů 2. řádu, polohy nul a pólů přenosové funkce kaskády v z-rovině.