12.1 Formulace úlohy, LMS s okrajovými podmínkami

Chceme propustit signál $s$ šířící se kolmo na řadu viz. Obr. 12.1a, tedy s DOA (Direction of Arrival) $\theta = 0^{\circ}$ a ostatní signály (s odlišným směrem šíření, $\theta \neq 0^{\circ}$) potlačit (například signál $r$).

Figure 12.1: a struktura Frostova beamformeru b náhradní schéma pro signál $s[n]$ šířící se kolmo na řadu

Za tímto účelem umístíme za senzory řady adaptivní filtr se strukturou viz. Obr. 12.1a. Za každým z $K$ senzorů řady je umístěn transverzální filtr s $J$ vahami. Výstupy těchto filtrů jsou pak sečteny do jediného chybového výstupu $e[n]$. Pro účely dalšího výkladu zaveďme vektor vah $\mathbf{w}[n]$ a vektor signálů na zpožděních $\mathbf{x}[n]$

$$\begin{aligned}\mathbf{w}^T[n] &= [ w_1[n],w_2[n],\ldots,w_{JK}... ...dots ,x_1[n-J+1],x_2[n-J+1], \ldots,x_K[n-J+1]]. \\ \end{aligned}$$

Pro chybový výstup platí

$$e[n] = \mathbf{w}^T[n]\mathbf{x}[n].$$ (12.2)

Otázkou zůstává jak nastavovat váhy $\mathbf{w}[n]$. Minimalizací rozptylu (výkonu) na chybovém výstupu $e[n]$, sice docílíme potlačení rušivých signálů, ale triviální řešení (všechny váhy nulové) vede i k potlačení užitečného signálu $s$. Přidáme tedy okrajovou podmínku na hodnoty vah, aby $s$ (signál šířící se kolmo na řadu) prošel bez zkreslení.

Jak se struktura chová z pohledu signálu $s$. Protože se $s$ šíří kolmo na řadu jsou příspěvky od $s$ na všech senzorech stejné. Tyto příspěvky se pak v dalších krocích kopírují na další zpoždění. V každém sloupci struktury Obr. 12.1a jsou tedy shodné příspěvky signálu $s$. Zhlediska $s$ můžeme tedy sloupce propojit, výsledná struktura je uvedena na Obr. 12.1b, jedná se o jediný transverzální filtr délky $J$ jehož váhy jsou součtem vah původní struktury v odpovídajícím sloupci.

Okrajovou podmínku získáme tak, že fixujeme váhy vzniklého filtru (impulsovou odezvu filtru z hlediska $s$) na Dirakův impulz (chceme, aby $s$ prošel bez zkleslení).

$$\begin{aligned}\sum_{k=1}^{K} w_k[n] &= 1, \\ \sum_{k=K+1}^{2K}... ..., \\ &\vdots\\ \sum_{k=JK-K+1}^{JK} w_k[n] &= 0. \\ \end{aligned}$$

Pro účely dalšího výkadu budeme potřebovat přehlednější maticové vyjádření. Zavedeme vektor $\mathbf{f}$ délky $J$ mající význam impulsové odezvy pro $s$ a matici $\mathbf{C}$ o rozměru $JK\times J$

$$\begin{aligned}\mathbf{C} &= [ \mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\ldots... ...{f}^T &= [ f_1,f_2,\ldots,f_J] =[ 1,0,\ldots,0], \\ \end{aligned}$$

kde $\mathbf{c}_i$ má tvar

$$\mathbf{c}_i = [ \underbrace{0 \ldots 0}_{\text{$K(i-1)$\ nul}}\;... ...ext{$K$\ jedniček}}\;\;\;\; \underbrace{0 \ldots 0}_{\text{$K(K-i)$\ nul}} ] .$$ (12.5)

Soustavu (12.3) pak můžeme s použitím značení (12.4) zapsat

$$\mathbf{C}^T\mathbf{w}[n] = \mathbf{f} .$$ (12.6)

Nyní shrnu předešlé úvahy. Váhy budeme nastavovat tak, abychom minimalizovali rozptyl $\mathrm{E}[e^2[n]]$ na chybovém výstupu (opět předpokládáme, že proces $\mathbf{x}[n]$ mé nulovou střední hodnotu), při platnosti okrajové podmínky (12.6). Jedná se vlastně o hledání vázaného extrému. Výsledný adaptivní algoritmus se nazývá LMS s lineárními okrajovými podmínkami.

Trajektorie vah ve váhovém prostoru je naznačena na obrázku Obr. 12.2. Množina přípustných vah je omezena pouze na podprostor $\mathbf{C}^T\mathbf{w} = \mathbf{f}$ (přímka na obrázku). Váhy se pohybují ve směru vázaného gradientu, jehož hodnoty jsou omezeny pouze na lineární podprostor $\mathbf{C}^T\mathbf{w} = \mathbf{o}$ (na obrázku přímka procházející počátkem rovnoběžná s přímkou $\mathbf{C}^T\mathbf{w} = \mathbf{f}$).

Figure 12.2: Problémy LMS s lineárními okrajovými podmínkami

Z toho vyplývají špatné numerické vlastnosti LMS algoritmu s okrajovými podmínkami. "Vyjede-li" $\mathbf{w}[n]$ v důsledku kumulativní chyby (nové váhy se získají jako staré opravené o $\mu$ násobek vázaného gradientu) z podprostoru $\mathbf{C}^T\mathbf{w} = \mathbf{f}$ (kde jsou splněny okrajové podmínky) vázaný gradient tuto chybu neumí opravit viz. Obr. 12.2. S rostoucím počtem iterací tedy vzdálenost $\mathbf{w}[n]$ od podprostoru $\mathbf{C}^T\mathbf{w} = \mathbf{f}$ stále roste.

Efektivní řešení problému uvedl až Frost (včetně korigovaných horních mezí pro $\mu$). Navržené řešení spočívá v promítnutí $\mathbf{w}[n]$ na podprostor $\mathbf{C}^T\mathbf{w} = \mathbf{f}$ v každé iteraci ( $\mathbf{w}[n]$ se přiřadí nejbližší váha splňjící okrajovou podmínku $\mathbf{C}^T\mathbf{w} = \mathbf{f}$).