2.1 Odtržení rekurentního odhadu střední hodnoty od signálu

Nejprve si namodelujeme vhodný signál $x[n]$, na kterém budeme odhady zkoušet.

x = [ 1.0*ones(10,1); zeros(10,1); 0.75*ones(10,1) ];
x = [ x;  zeros(10,1); 2.0*ones(10,1) ];

Jelikož $x[n]$ je deterministický jde nám zde pouze o odhad "časové" střední hodnoty (pro náhodný proces lze takovéto odhady rovněž použít za předpokladu stacionarity a ergodicity). Výpočet odhadu střední hodnoty vzorků $x[1],\ldots,x[N]$

$$\hat{\mu} = \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N} x[n]$$

lze rekurentně zapsat

$$\begin{aligned}\hat{\mu}[n] &= \frac{n-1}{n}\hat{\mu}[n-1] + \frac{1}{n} x[n], \\ \hat{\mu}[1] &= x[1]. \nonumber \end{aligned}$$

Vidíme, že pak $\hat{\mu} = \hat{\mu}[N]$. Odtud název pro $\hat{\mu}[n]$ rekurentní odhad.

Cvičení 2.0: Proveďte rekurentní a průběžný odhad střední hodnoty signálu $x[n]$. V průběžném odhadu volte $\lambda = 0.8$. Porovnejte oba odhady. Který lépe vystihuje lokální chování signálu? Jak jsou na tom z hlediska přesnosti? ^2.1

Výsledky:

Figure 2.1: Srovnání rekurentního a průběžného odhadu střední hodnoty.