Next: 8.2 Kaskáda IIR prediktorů
Up: 8. Cvičení 8: Odhad
Previous: 8. Cvičení 8: Odhad
Ve 3. cvičení jsme již prediktor 2. řádu použili na odhad
frekvence harmonického signálu.
V tomto cvičení se budeme zbývat obecnější úlohou.
Jak postupovat je-li ve vstupním signálu přítomo více harmonických
složek?
Mohli bychom zachovat transverzální strukturu Obr. 3.2 a
pouze zvýšit řád podle toho kolik frekvencí bychom chtěli odhadnout.
Problém pak ale nastává při přepočtu hodnot vah
na odhady frekvencí (úhly nul filtru), který vyžaduje výpočet kořenů
polynomu stupně vyššího než dva (už při stupni 5 neumím řešit pomocí
odmocnin).
Jedna možnost jak se této komplikaci vyhnout (a tak významě snížit
složitost) je použití kaskády filtrů druhého řádu.
Nuly celé kaskády jsou pak totiž nulami jednotlivých filtrů druhého řádu
a lze je tedy jednoduše určit. Ve 3. cvičení jsem podrobně rozebral
vztah vah prediktoru 2. řádu Obr. 3.2
k modulu a úhlům (komplexně sdružených) nul
jeho přenosové funkce (za předpokladu pomalé změny vah) viz. (3.6)
(
)
Zde navíc prediktor ještě zjednodušším. Omezím možné polohy nul na
jednotkovou kružnici (jejich modul
fixuji na 1), takže
je
fixována a zbýva upravovat pouze Jedinou váhu. Místo označení
zde budu používat názornějšího značení
![$\displaystyle c[n] = -\frac{w_1[n]}{2} = \cos(\Theta)$](img602.png) |
(8.1) |
mající význam kosinu úhlu nuly.
V tomto cvičení se omezím pouze na odhad dvou frekvencí
(zobecnění na více je přímočaré). K tomu použijeme kaskádu dvou
prediktorů 2. řádu viz. Obr. 8.1.
Figure 8.1:
Kaskáda FIR prediktorů 2. řádu pro odhad dvou frekvencí
 |
Vztah vah
a odhadovaných frekvencí je z (8.1)
Z Obr. 8.1 jednoduše napíšeme rovnice filtrace (1. a 2. prediktor)
Abychom mohli sestavit rovnice pro úpravu vah potřebujeme nejprve
určit derivace
,
potřebné pro
zapsání gradientu účelové funkce
. S derivací
není problém
![$\displaystyle \frac{\partial e[n]}{\partial c_2[n]} = - 2 x_2[n-1] .$](img609.png) |
(8.4) |
Případ
je trochu komplikovanější
neboť 1. prediktor je již dále od chybového výstupu
. Zde ještě
samozřejmě můžeme do rovnice pro
(8.3) dosadit za
,
ale všiměme si, že členů přibývá. Pro kaskádu IIR 2. řádu toto řešení
dokonce aplikovat nelze.
V LTI přiblížení8.1mohu ale oba prediktory prohodit aniž by se změnila impulsová odezva
celé kaskády
8.2jak je znázorněno na Obr. 8.2 a tak připojit 1. prediktor přímo k
chybovému výstupu
.
Figure 8.2:
V LTI přiblížení mohu oba prediktory prohodit
 |
Pro Obr. 8.2 jednoduše sestavím rovnice filtrace
a již jednoduše určím problematickou derivaci
![$\displaystyle \frac{\partial e[n]}{\partial c_1[n]} = - 2 y_1[n-1] .$](img615.png) |
(8.6) |
Všechno kromě
je již vypočteno v (8.3). Pro výpočet
použijeme (8.5). Celá struktura je znázorněna na
Obr. 8.3.
Figure 8.3:
Celá struktura
 |
S použitím (8.6) a (8.4)
již jednoduše napíšeme rovnice
pro úpravu vah
Cvičení 8.0: Vstupní signál
modelujte jako směs dvou harmonických signálů
o jednotkových efektivních hodnotách a
frekvencích
a
[rad/vzorek].
Délku
volte
vzorků.
Napište skript v Matlabu implementující strukturu Obr. 8.1.
Konvergenční konstantu
volte mu = 0.003/rxx0.
Počáteční podmínku pro
volte
a
pro počáteční podmínku pro
volte
.
Vyneste odhady frekvencí na čase a porovnejte je se skutečnými frekvencemi.
Dále charakteristiku filtru v ustáleném stavu, a amplitudová spektra
vstupního signálu
a chybového výstupu
.
Výsledky:
Figure 8.4:
Kaskáda FIR, žádné aditiví rušení: Spektrogram vstupu
, výstupu
,
průběh vah na čase.
|
Figure 8.5:
Kaskáda FIR, žádné aditiví rušení: (zleva doprava)
amplitudová spektra vstupu
a výstupu
,
průběh odhadu frekvencí na čase, modulové frekvenční charakteristiky
kaskády a obou prediktorů 2. řádu, polohy nul a pólů přenosové funkce
kaskády v z-rovině.
|
Cvičení 8.1: K vstupnímu signálu
navíc oproti předešlému cvičení 8.1
přičtěte
aditivní rušení
.
Aditivní rušení
modelujte jako bílý stacionární
gausovský proces s nulovou střední hodnotou.
Varianci šumu volte nejdříve
a pak
.
Vyneste si opět grafy jako ve cvičení 8.1
a pozorujte rozdíly.
Výsledky:
Figure 8.6:
Kaskáda FIR, rozptyl adidivního rušení
: (zleva doprava)
amplitudová spektra vstupu
a výstupu
,
průběh odhadu frekvencí na čase, modulové frekvenční charakteristiky
kaskády a obou prediktorů 2. řádu, polohy nul a pólů přenosové funkce
kaskády v z-rovině.
|
Figure 8.7:
Kaskáda FIR, rozptyl adidivního rušení
: (zleva doprava)
amplitudová spektra vstupu
a výstupu
,
průběh odhadu frekvencí na čase, modulové frekvenční charakteristiky
kaskády a obou prediktorů 2. řádu, polohy nul a pólů přenosové funkce
kaskády v z-rovině.
|
Next: 8.2 Kaskáda IIR prediktorů
Up: 8. Cvičení 8: Odhad
Previous: 8. Cvičení 8: Odhad
Mirek
2006-12-12