6.2 CMA

Velkou nevýhodou LMS ekvalizátoru, o které jste se přesvědčili v poslední úloze je neschopnost zotavení při skokové změně přenosové funkce linky. Jediné řešení je přepnutí do trénovací fáze. Tuto nevýhodu odstraňuje CMA (Constant Modulus Algorithm).

Všiměte si, že datový signál $d[n]$ má konstantní modul $\vert-1\vert = \vert 1\vert = 1$, CMA se jednoduše snaží tuto vlastnost obnovit i na výstupu adaptivního filtru $\hat{d}[n]$.

Tomu pak odpovídá definice chybového signálu $e[n]$, jehož kvadrát se CMA snaží minimalizovat. Chybový signál je jednoduše definován jako rozdíl kvadrátů modulů odhadu $\hat{d}[n]$ a čistého datového signálu $d[n]$ (Kvadrátů proto, že se jednodušeji derivují narozdíl od pouhých modulů)

$$\begin{gathered}\hat{d}[n] = \mathbf{w}^T[n]\mathbf{x}[n], \\... ...n]\vert^2 - \vert d[n]\vert^2 = \hat{d}[n]^2 - 1 \end{gathered}$$ (6.4)

Z uvedené rovnice filtrace již jednoduše určíme gradient

$$\nabla_{\mathbf{w}[n]}e^2[n] = 2 e[n] \frac{\partial (\hat{d}[n]^... ...partial \hat{d}[n]}{\partial \mathbf{w}[n]} = 2 e[n] 2 \hat{d}[n] \mathbf{x}[n]$$ (6.5)

a sestavíme rovnici pro úpravu vah

$$\nabla_{\mathbf{w}[n]}e^2[n] \mathbf{w}[n+1] = \mathbf{w}[n] + \mu e[n] \hat{d}[n] \mathbf{x}[n]$$ (6.6)

Struktura CMA ekvalizátoru je na Obr. 6.8.

Figure 6.8: Struktura CMA ekvalizátoru

CMA lze použít i pro obecnější signály než zde popsaný. Napříkad komplexní fázově modulovaný signál. Zde jsem však uvedl pouze rovnice pro případ reálných signálů. Dále upozorněme, že jelikož zde minimalizovaná účelová funkce není kvadratickou formou ve $\mathbf{w}$ může být horní mez pro volbu konvergenční konstanty $\mu$ odlišná od té, která byla pro LMS uváděna na přednáškách nebo zde na cvičení viz. cvičení 6.1.

Cvičení 6.2: Upravte stávající skript pro LMS ekvalizátor (nebo napište nový), tak aby umožňoval použití CMA.

Vyzkoušejte si použití CMA na stejném zadání jako v předchozím cvičení 6.1.

Výsledky:

Figure 6.9: CMA ekvalizátor (Linka IIR s modulem polů 0.8, $\sigma _v^2 = 0.1^2$, $M = 2$, $D=0$): (zleva doprava) průběh vah, výkon odchylky $p_o$ na zpoždění, modulová frekvenční charakteristika adaptivního filtru v ustáleném stavu a linky v decibelech, nuly a póly přenosové funkce adaptivního filtru v ustáleném stavu.

Cvičení 6.3: Rozptyl aditivního šumu volte $\sigma_v = 0.1^2$. Pokusíme se o reálnější model přenosové linky. Linku modelujte FIR filtrem řádu 4 s konstantním skupinovým zpožděním jako dolnofrekvenční propust.

Vyzkoušejte obě uvedené metody: LMS ekvalizátor (s použitím i bez použití trénovací fáze) a CMA. Budete muset zvýšit řád adaptivního filtru (například $M=10$) i zpoždění v trénovací fázi (například $D=3$).

K získání koeficientů polynomu čitatele přenosové funkce přenosové linky můžete použít funkci remez (zadejte help remez pro popis parametrů):

link_A = [ 1; zeros(4,1)]; % FIR lin faze
link_B = remez(4,[0,1/3,1/3+0.1,1],[1,1,0.4,0.4])';

Zkuste nejprve uvedené nastavení a pak zkuste snížit zesílení v nepropustném pásmu.

Výsledky:

Figure 6.10: Linka (FIR, $\sigma _v^2 = 0.1^2$): (zleva doprava) Modulová frekvenční charakteristika linky, nuly a póly přenosové funkce linky, fázová frekvenční charakteristika linky, čistý datový signál $d[n]$, vstup z ekvalizéru $x[n]$

Figure 6.11: CMA ekvalizátor (Linka FIR, $\sigma _v^2 = 0.1^2$, $M=10$, $D=3$): (zleva doprava) průběh vah, výkon odchylky $p_o$ na zpoždění, modulová frekvenční charakteristika adaptivního filtru v ustáleném stavu a linky v decibelech, nuly a póly přenosové funkce adaptivního filtru v ustáleném stavu.