Next: 11.1 Statistiky vyšších řádů
Up: Cvičení k předmětu ADA
Previous: 10. Cvičení 10: Separace
Shrňme nejprve závěry z minulého cvičení věnovanému separaci
pomocí statistik 2. řádů.
Máme k dispozici směs nezávislých procesů.
Směs je reprezentována náhodným vektorem
 |
(11.1) |
kde
je jakákoli regulární matice (mixážní matice) a
náhodný vektor
s nezávislými složkami reprezentuje
ony nezávislé procesy.
i
nejsou známy.
Naším cílem je najít transformaci (separační matici), která ze směsi
obnoví původní nezávislé procesy (s pomocí reprezentujících náhodných
vektorů: která z
separuje původní složky
).
Používáme k tomu nezávislost složek
.
Hledáme tedy transformaci, která transformuje
na
náhodný vektor s nezávislými složkami. To že nalezená transformace
skutečně separuje původní složky
nemusí být pravda
viz. příklad s normálními rozděleními viz. Obr. 10.5, ale je-li
transformace nezávislostí složek výsledku určena jednoznačně, až na
permutaci a měřítka složek
11.1, pak musí separovat původní složky
(
má také uvedené vlastnosti, tak to musí být z jednoznačnosti ona,
až na permutci a měřítka).
Označme
ortogonální matici a
diagonální matici
vlastního rozkladu korelační matice
 |
(11.2) |
Bylo ukázáno, že transformace
 |
(11.3) |
složky
vždy dekoreluje, což lze nahlédnout výpočtem
korelační matice výsledku
![$\displaystyle \mathbf{R}_{vv} = \mathrm{E}[\mathbf{v}\mathbf{v}^T] = \mathbf{D}...
...hbf{V}\mathbf{D}\mathbf{V}^T \mathbf{V}\mathbf{D}^{-\frac{1}{2}} = \mathbf{E} .$](img757.png) |
(11.4) |
To samozřejmě ještě neznamená, že
musí mít nezávislé složky.
Zbývá tedy najít transformaci (matici)
 |
(11.5) |
která transformuje
na vektor s nezávislými složkami (označen
).
Z nezávislosti složek
plyne jejich nekorelovanost (změny
měřítek mě opět nezajímají, proto se místo diagonální omezuji opět na
jednotkovou korelační matici)
 |
(11.6) |
Korelační matici můžeme vyjádřit rovněž pomocí (11.5) a
(11.4)
![$\displaystyle \mathbf{R}_{zz} = \mathrm{E}[\mathbf{z}\mathbf{z}^T] = \mathbf{W}...
..._{vv}\mathbf{W}^T = \mathbf{W}\mathbf{E}\mathbf{W}^T = \mathbf{W}\mathbf{W}^T .$](img761.png) |
(11.7) |
Z (11.6) a (11.7)
dostáváme omezující podmínku na možné
 |
(11.8) |
Hledaná matice
tedy musí být ortogonální.
Dekorelace (vybělení) složek
tedy nevede obecně k separaci,
ale úlohu značně zjednodušší (při hledání vhodné matice
nemusíme vybírat mezi všemi regulárními maticemi, ale stačí se soustředit
na ortogonální matice).
Subsections
Next: 11.1 Statistiky vyšších řádů
Up: Cvičení k předmětu ADA
Previous: 10. Cvičení 10: Separace
Mirek
2006-12-12