Mějme nezávislé náhodné procesy
,
(k dispozici máme pouze segment délky
)
s nulovou
střední hodnotou a nenulovou variancí10.1.
Uspořádejme procesy do vektorů
Tedy najít něco jako inverzi k
(
)
Protože máme k dispozici pouze nezávislost složek
nelze doufat v obnovení pořadí a měřítek jednotlivých složek jako
u inverze
10.2.
Vektory náhodných procesů
zde nebudu již značit
,
,
ale zavedu značení
,
podobně pro
, abych lépe rozlišil vektor náhodných
procesů
od jeho hodnoty v čase
, kterou budu
značit i nadále
(náhodný vektor).
Nyní si úkol trochu zjednoduššíme, od vektorů (délky ) náhodných procesů
,
přejdeme k náhodným vektorům
,
(délky
).
Náhodné vektory
,
dodefinujeme tak,
abychom realizaci
mohli chápat jako
realizací
, a aby nezávislost složek
přešla
na nezávislost složek
.
Bude to vyžadovat další omezení na
a příjdeme tím
o část informace, kterou bychom mohli použít, ale věc se tím podstatně
zjednodušší:
Jednu možnost jak
a
dodefinovat nyní popíšu.
Jednu realizaci
a
vygeneruji následuji následujícím způsobem. Vygeneruji realizaci
, pak vygeneruji časový index
z rovnoměrného
rozdělení na
.
zvolím jako hodnotu právě
vygenerované realizace
v čase
Postup je pak takový se od složek
snažíme přejít
k původním složkám
, za předpokladu jejich nezávislosti
a tak odhadnout separační matici
k mixážní matici
.
Je-li
skutečně separační k
10.4nic nám již
nebrání jí použít na procesy
a získat tak původní
procesy
.
K tomu je ale nutné vědět, zda nezávislost
vede na nezávislost
(je-li možné nezávislost
při separaci z
použít). Zmíněnou implikaci lze pro uvedenou konstrukci
skutečně dokázat pro
stacionární
a za jistých dodatečných přijatelných předpokladů
i pro
nestacionární.
Nyní se podívejme na situaci z hlediska statistik 2. řádů (korelačních
matic). Z předpokladu nezávislosti složek
plyne
jejich nekorelovanost tedy korelační matice náhodného vektoru
Chceme-li obnovit nezávislost musíme složky
určitě
dekorelovat (z nezávislosti plyne nekorelovanost). Problém je
že dekorelací obecně nezávislost nezajistíme (opačná implikace neplatí).
Těžko tedy můžeme doufat, že pouze s pomocí statistik 2. řádů dosáhneme
separace pro jakouko-li regulární
.
Úlohu si tedy
trochu zjednoduššíme a omezíme se (alespoň v této části) pouze na
ortogonální mixážní matici
a dálé budeme
předpokládat, že
nemá násobná vlastní čísla.
Z ortogonality
a diagonality
použitím lematu
7.5
plyne, že (10.6) je vlastním rozkladem
.
Vypočtu tedy vlastní rozklad
- určím ortogonální matici
a diagonální matici
tak, aby
Sestrojíme tedy součin
a ověřme zda je
skutečně separační k
. Jelikož připouštíme pouze různá
vlastní čísla
(všechny mají násobnost právě jedna)
přísluší podle lemmatu 7.4 každému vlastnímu číslu
právě jeden lineárně nezávislý
vlastní vektor
. Jelikož jsme se omezili pouze na
, je
příslušný
určen
jednoznačně až na znaménko
.
Oba rozklady
se tedy mohou lišit pouze pořadím (permutací) vlastních čísel
(na diagonálách
a
) a vlastních
vektorů (v maticích
a
). Vlastní vektory
se navíc mohou lišit znaménkem.
Označme sloupcové vektory
.
Z ortogonality
pro skalární součiny
plyne
pro
a
. Označme sloupce
. Z uvedeného plyne, že
se jedná pouze o permutované vektory
s případnou změnou znaménka. Skalární součiny
,
z nichž se skládá zkoumaný součin
,
mají pouze následující hodnoty
(pro
,
)
(pro
)
nebo
(pro
).
Jelikož kopie
(včetně případné změny znaménka)
se v
vyskytuje právě jednou, je v každém řádku
právě jeden nenulový prvek (
nebo
).
V každém sloupci rovněž (v uvedené úvaze obratíme
úlohu
a
). Matice
je tedy
podle definice 10.1
separační
k
a
K separaci použitím
dojde i pro trochu obecnější
.
Nechť
má tvar
Jelikož těžko můžeme doufat v obnovení měřítek (
je neznámá)
normují se většinou rozptyly výsledku na
. To lze zařídit přenásobením
(diagonální matice, která má na diagonále
odmocniny převrácených hodnot diagonálních prvků
viz.
(10.7), tedy
)
V předešlém textu jsme hledání separační matice založili na
podobnosti vyjádření
pomocí
a
vlastního rozkladu.
To nám dovolilo najít případy
(tvary
) pro které je
skutečně
separační maticí.
Nyní uvažujme obecnou regulární mixážní matici. Máme k dispozici předpoklad
nezávislosti složek
. Složky
,
kde
označuji separační matici musí být rovněž nezávislé.
Z (10.12) vidíme, že volba
vede na dekorelaci složek (nejsou zde potřeba žádé restrikce na tvar
kromě regularity). To ale ještě neznamená nezávislost
složek.
Transformace
tedy vždy složky
dekoreluje, ale jenom někdy (viz. výše diskutované
tvary
(10.10)) je i rozseparuje.
Vytvořte směs
, viz. (10.2).
Určete korelační matici
vektoru
(jak bylo popsáno vzorky
pro jednotlivé
časy považujete za realizace náhodného vektoru
).
Vypočtěte ortogonální matici
a diagonální matici
vlastního rozkladu matice
.
K tomu lze použít volání [V,D] = eig(Rxx).
Vypočtěte realizací
Pro všechny případy A1, A2, B1, B2,
C1, C2 vyneste realizace náhodných vektorů
,
,
,
.
Do grafu pro
si vyneste standardní bázi a
vyneste si také jak transformuje.
Do grafů si rovněž vyneste závislost variance na směru.
Vyneste si výsledné průběhy
.
Uvádím skript pro vynesení realizací náhodného vektoru
, standardní báze, a variance na směru pro náhodný vektor
:
figure(1) subplot(2,2,1) plot(s(1,:),s(2,:),'g.'); % realizace hold on Bs = diag([1;1]); % standardni baze plot([ 0 Bs(1,1) ],[ 0 Bs(2,1) ] ,'b-'); plot([ 0 Bs(1,2) ],[ 0 Bs(2,2) ] ,'b-'); % variance na smeru wN = 50 w = [cos(linspace(0,2*pi,wN));sin(linspace(0,2*pi,wN))]; % smerove vektory var = zeros(1,wN); for n = 1:wN; p = w(:,n)'*s; m1 = sum(p)/N; m2 = sum(p.^2)/N; var(n) = m2 - m1^2; end; plot( var.*w(1,:), var.*w(2,:),'r-'); title("s"); xlabel("s_1"); ylabel("s_2"); axis('equal') hold off
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
U případu s ortogonální mixážní maticí Obr. 10.1 vidíme, že se
již po alikaci
podařilo obnovit původní signály
včetně měřítek viz. Obr. 10.2. Pro neortogonální
regulární k separaci již nedojde (nezávislé směry neodpovídají
standardní bázi
) viz.
Obr. 10.3 a Obr. 10.4,
Obr. 10.5, Obr. 10.6.
Nicméně vidíme, že vždy dojde k vybělení (velikost variance
nezávisí na směru - červené kružnice v grafu realicací
).
Také je patrné, že k separaci již stačí pouze otočení (nezávislé směry
v grafu realicací
svírají pravý úhel).
Všiměte si že úhel tohoto otočení lze vyčíst z průběhu špičatosti
na směru, kromě případu gausovských šumů (normální rozdělení má
nulovou špičatost).
Pouze s použitím nezávislosti zde nelze původní nezávislé směry
obnovit, neboť
jakékoli dva ortogonální směry jsou zde nezávislé (jedná se o
centrálně symetrické normální rozdělení).