Chceme propustit signál šířící se kolmo na řadu viz.
Obr. 12.1a,
tedy s DOA
(Direction of Arrival)
a ostatní signály (s odlišným
směrem šíření,
) potlačit (například signál
).
Za tímto účelem umístíme za senzory řady adaptivní filtr se strukturou
viz. Obr. 12.1a.
Za každým z senzorů řady je umístěn transverzální filtr
s
vahami. Výstupy těchto filtrů jsou pak sečteny do jediného chybového
výstupu
.
Pro účely dalšího výkladu zaveďme vektor vah
a
vektor signálů na zpožděních
Otázkou zůstává jak nastavovat váhy
.
Minimalizací rozptylu (výkonu) na chybovém výstupu
,
sice docílíme potlačení rušivých signálů, ale triviální řešení
(všechny váhy nulové) vede i k potlačení užitečného signálu
.
Přidáme tedy okrajovou podmínku na hodnoty vah, aby
(signál
šířící se kolmo na řadu) prošel bez zkreslení.
Jak se struktura chová z pohledu signálu .
Protože se
šíří kolmo na řadu jsou příspěvky
od
na všech senzorech stejné. Tyto příspěvky se pak
v dalších krocích kopírují na další zpoždění. V každém sloupci struktury
Obr. 12.1a
jsou tedy shodné příspěvky signálu
. Zhlediska
můžeme tedy
sloupce propojit, výsledná struktura je uvedena na
Obr. 12.1b, jedná se o
jediný transverzální filtr délky
jehož váhy jsou součtem vah
původní struktury v odpovídajícím sloupci.
Okrajovou podmínku získáme tak, že fixujeme váhy vzniklého filtru
(impulsovou odezvu filtru z hlediska ) na Dirakův impulz
(chceme, aby
prošel bez zkleslení).
Nyní shrnu předešlé úvahy.
Váhy budeme nastavovat tak, abychom minimalizovali rozptyl
na chybovém výstupu (opět předpokládáme, že
proces
mé nulovou střední hodnotu), při platnosti
okrajové podmínky (12.6). Jedná se vlastně o hledání vázaného
extrému.
Výsledný adaptivní algoritmus se
nazývá LMS s lineárními okrajovými podmínkami.
Trajektorie vah ve váhovém prostoru je naznačena na obrázku
Obr. 12.2.
Množina přípustných vah je omezena
pouze na podprostor
(přímka na obrázku). Váhy se pohybují ve směru vázaného gradientu,
jehož hodnoty jsou omezeny pouze na lineární podprostor
(na obrázku přímka procházející
počátkem rovnoběžná s přímkou
).
Z toho vyplývají špatné numerické vlastnosti LMS algoritmu
s okrajovými podmínkami.
"Vyjede-li"
v důsledku kumulativní chyby
(nové váhy se získají jako staré opravené
o
násobek vázaného gradientu)
z podprostoru
(kde jsou splněny okrajové
podmínky) vázaný gradient tuto chybu neumí opravit viz. Obr. 12.2.
S rostoucím počtem iterací tedy vzdálenost
od
podprostoru
stále roste.
Efektivní řešení problému uvedl až Frost (včetně korigovaných
horních mezí pro ).
Navržené řešení spočívá v promítnutí
na podprostor
v každé iteraci (
se přiřadí nejbližší váha splňjící
okrajovou podmínku
).