3.1 Generování signálů

Cvičení 3.0: Vygenerujte si signál $sin(\varphi(t))$, jehož úhlová rychlost $\omega = \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}$ ^3.1

A

je konstantní $\omega = \omega_0$. Výsledný signál pak můžeme popsat jako průmět rovnoměrného pohybu po kružnici. Pro úhel dostáváme

$$\varphi(t) = \int \omega_0 \mathrm{d} t = \omega_0 t$$

B

se mění lineárně

$$\omega(t) = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} t + \omega_0.$$

Výsledný signál pak můžeme popsat jako průmět rovnoměrně zrychleného pohybu po kružnici. Pro úhel dostáváme

$$\varphi(t) = \int \omega(t) \mathrm{d} t = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} \frac{t^2}{2} + \omega_0 t.$$

C

se mění harmonicky

$$\omega(t) = \frac{\omega_0 + \omega_1}{2} + \frac{\Delta \omega}{2} \sin ( \frac{2 \pi}{\Delta t} t ),$$

kde $\Delta \omega = \omega_1 - \omega_0$ Výsledný signál pak můžeme popsat jako průmět nerovnoměrně zrychleného pohybu po kružnici. Pro úhel dostáváme

$$\varphi(t) = \int \omega(t) \mathrm{d} t = \frac{\omega_0 + \omeg... ...rac{\Delta \omega}{2} \frac{2 \pi}{\Delta t} \cos ( \frac{2 \pi}{\Delta t} t )$$

Uvedené parametry zvolte např. $\Delta t = 500 s$, $\omega_0 = \frac{\pi}{4}$, $\omega_1 = \frac{3\pi}{4}$, $\Delta \omega = \omega_1 - \omega_0$, Jelikož jsme omezeni na systémy diskrétní v čase, musíme uvažovat vzorkování. Předpokládejte, že vzorkovací perioda je 1 s. Dobu vzorování uvažujte shodnou s $\Delta t$.

3.1.0.0.1 Řešení:

Nejprve zadání parametrů:

W0 = pi/4;
W1 = 3*pi/4;
DW = W1-W0;
N = 500;
n = 1:N;

A

Generování harmonického signálu, úhlovou frekvenci si taky někam uložte (budeme ji potřebovat pro porovnání s odhadem)

Wchp = W0*ones(1,N); % konstantni frekvence W0
x = sin(W0*n);

B

Lineární chirp

Wchp = DW/N*n + W0; % linearni chirp
x = sin(DW/N*n.^2/2 + W0*n);

C

Harmonický chirp

Wchp = DW/2*sin(2*pi/N*n) + (W0+W1)/2; % harmonicky chirp
x = sin(-DW/2/(2*pi/N)*cos(2*pi/N*n)+(W0+W1)/2*n);

Vykreslení průběhů (u specgram již opravíme časovou osu):

figure(1);
subplot(3,1,1);
plot(1:N,x);
subplot(3,1,2);
wsize = 50; % delka okna pro specgram
[B,F,T] = specgram(x,wsize,[],[],0);
imagesc(T*2+wsize/2,F,20*log10(abs(B))); % napraveni casove osy u specgram
axis('xy');
subplot(3,1,3);
plot(1:N,Wchp/pi); % normalizovana frekvence

Figure 3.1: Lineární chirp: časový průběh $x[n]$, spektrogram, průběh úhlové frekvence